Séance 3 : Explorer et investiguer des variables quantitatives

Formation Ecole Doctorale - Université de Bordeaux - 05-06-2026

Claire Kersuzan

PUD_Bx - COMPTRASEC - Université de Bordeaux & Réseau so-maté

Solenne Roux

LabPsy - UR4139, Université de Bordeaux & Réseau so-maté

Plusieurs étapes pour analyser des données quantitatives

• Séance 1 : Se familiariser avec ses données & poser des bases solides
• Séance 2 : Explorer et investiguer des variables qualitatives
• Séance 3 : Explorer et investiguer des variables quantitatives
• Séance 4 : Structurer et synthétiser l’information
• Séance 5 : Modéliser et prévoir

Où en sommes-nous ?

Séance 1 : - Comprendre les données
- Construire et vérifier les variables
- Décrire une variable

Séance 2 : - Analyser des relations entre variables qualitatives
- Tableaux croisés, proportions, khi², intervalles de confiance

Séance 3 : - On travaille maintenant avec des variables quantitatives
- Mais toujours la même logique

question → données → analyse → interprétation

Objectifs de la séance

Aujourd’hui, nous allons apprendre à :

• décrire et visualiser une relation impliquant une variable quantitative ;
• distinguer corrélation, association et causalité ;
• mesurer et interpréter une corrélation ;
• comparer une variable quantitative entre plusieurs groupes ;
• comprendre la logique des tests d’hypothèse associés ;
• interpréter les résultats avec rigueur et nuance.

Explorer et investiguer des variables quantitatives ou qualitatives

Répondre à une (ou des) hypothèse(s)
formulée(s) a priori

Deux grandes situations

Avec des variables quantitatives, deux questions reviennent souvent :

1. Deux variables quantitatives

Les individus les plus satisfaits de la répartition des tâches sont-ils aussi les plus satisfaits de leur relation ?

→ Corrélation

2. Une variable quantitative et des groupes

La satisfaction vis-à-vis de la répartition des tâches est-elle la même chez les femmes et les hommes ?

→ Comparaison de moyennes

Ce sont les deux situations que nous allons étudier aujourd’hui.

Qu’est ce qu’une variable quantitative ?

Toutes les variables numériques ne se ressemblent pas

Exemples :

• Âge ou Revenu ;
• Temps de réaction ;
• Nombre d’enfants ;
• Score de satisfaction ;
• Score de bien être; etc.

Toutes ces variables utilisent des nombres

Mais :

- Ces nombres n’ont pas la même signification

- Les échelles de mesure sont différentes

- Les lois statistiques qui les régissent sont différentes

Qu’est ce qu’une variable quantitative ?

Certaines variables mesurent directement une quantité :

• Âge ;
• Revenu ;
• Temps de réaction ;
• Nombre d’enfants ;
• Distance ou Durée ; etc.

D’autres correspondent à des échelles :

• Degré d’accord avec une affirmation ;
• Degré de satisfaction d’un produit, d’un évènement; etc.

Question :

Peut-on toujours les analyser comme des variables quantitatives ?

Une question souvent discutée

En théorie :

• Un âge est une variable quantitative ;
• Une échelle de satisfaction est considérée comme ordinale…

Dans de nombreuses disciplines (Psychologie, Sciences de l’éducation, santé ou sciences sociales) les variables ordinales sont souvent analysées comme des variables quantitatives.

Pourquoi ?

• Présupposé théorique d’écarts similaires / comparables entre les modalités ;
• La variété des points de mesures permet la quantification ;
• Existance de méthodes d’analyse de données robustes aux données ordinales

Quelle est l’hypothèse posée ?

Traiter un score comme une variable quantitative revient souvent à supposer que :

• Les écarts entre modalités sont comparables ;
  
• La moyenne conserve un sens ;
  
• Une différence d’un point est interprétable sur l’ensemble de l’échelle.

Exemple :

La différence entre 2 et 3 est proche de celle entre 8 et 9

Cette généralisation est souvent jugée raisonnable pour les échelles comportant de nombreuses modalités.

Traiter une échelle comme quantitatif est un choix de modélisation,

pas une propriété intrinsèque de la variable.

Deux exemples dans ERFI

Satisfaction de la relation (OC_SATREL)

Échelle allant de :

0 = très insatisfait
à
10 = très satisfait

Accord avec une affirmation (VA_DIFFAGE)

1 = D’accord
2 = Plutôt d’accord
3 = Ni d’accord ni pas d’accord
4 = Plutôt pas d’accord
5 = Pas d’accord

Question :

Peut-on analyser ces deux variables exactement de la même manière ?

Même si elles sont codées avec des nombres…

Les deux variables utilisent des nombres mais leur interprétation n’est pas nécessairement identique.

Si on accepte l’idée que :

• La différence entre 2 et 3 est proche de celle entre 8 et 9 ;

Et que :

• La moyenne est interprétable

Alors elle peut être analysée comme quantitative.

Si l’écart entre les modalités est considéré comme différents :

• Alors les modalités sont des catégories ordonnées

D’accord < Plutôt d’accord < … < Pas d’accord

• Dans ce cas, le calcul de la moyenne n’a pas de sens

La variable est alors analysée comme qualitative.

En pratique

Il n’existe pas de règle universelle.
On raisonne plutôt en termes de dégré d’approximation

En général :

• Plus une échelle comporte peu de modalités, plus son caractère ordinal / discret est important ;
  
• Plus une échelle comporte de modalités, plus elle se rapproche d’une mesure quantitative / continue.

C’est pourquoi certaines variables sont presque toujours traitées comme quantitatives (âge, revenu, durée, etc.),

alors que d’autres font davantage l’objet de discussions (satisfaction, opinion, accord avec une affirmation).

À retenir

Le choix dépend :

• De la nature de la mesure ;
• Du nombre de modalités ;
  
• Des hypothèses suivies ;

Selon les domaines :

• En Psychologie les mesures d’échelles sont souvent traitées comme quantitatives ;
• En Sociologie les mesures d’échelles sont plutôt considérées comme qualitatives ;
• En Economie il est fréquent d’utiliser des modèles linéaires même pour des échelles de satisfaction.

Une bonne analyse n’est pas celle qui applique automatiquement une méthode, mais celle qui explicite les hypothèses sur lesquelles elle repose.

Rappel des données utilisées dans cette formation

Données de l’enquête ERFI mise à disposition librement par l’INED car les données sont anonymisées.

Nous allons utiliser les variables suivantes :

• OC_SATREL : Satisfaction de la relation avec votre conjoint.
• OA_SATREP : Satisfaction de la répartition des tâches ménagères avec votre conjoint.
• NBENFTOTM_rec : Nombre d’enfants total cohabitants.
• MA_SEXE : sexe du répondant.
• MC_DIPLOME : Diplôme le plus élevé du répondant.
• MA_AGEM_rec : Age du répondant
• VA_MARIDEP : Le mariage est une institution dépassée
• VA_COHAB : C’est bien pour un couple non marié de cohabiter même s’ils n’ont pas l’intention de se marier
• VA_MARITJS : Le mariage est un lien pour la vie qui ne devrait jamais être rompu
• VA_DIVORC : Si des gens sont malheureux en couple, ils peuvent divorcer, même s’ils ont des enfants
• VA_FEMENF : Pour s’épanouir, une femme doit avoir des enfants
• VA_HOMENF : Pour s’épanouir, un homme doit avoir des enfants
• VA_DEUXPAR : Pour grandir en étant heureux, un enfant a besoin d’un foyer avec un père et une mère
• VA_MERSEUL : Une femme peut avoir un enfant et l’élever seule si elle n’a pas envie d’avoir une relation stable avec un homme
• VA_EFTAUTO : Quand les enfants ont 18 ou 20 ans, ils doivent vivre de façon autonome, s’ils en ont les moyens
• VA_DROITHOMO_rec : Les couples homosexuels devraient avoir les mêmes droits que les hétérosexuels

Avant toute analyse {.smaller}

Comme lors des séances précédentes :

• Comment les données sont-elles distribuées ? ;
  
• Observe-t-on des valeurs atypiques ? ;
  
• Les effectifs sont-il suffisants ? ;
  
• Les variables mesurent-elles réellement ce que nous pensons qu’elles mesurent ?

Avant d’interpréter un chiffre, il faut comprendre les données qui ont produit ce chiffre.

Une moyenne ou une corrélation seules ne suffisent jamais.

Une nouvelle question statistique

Jusqu’à présent :

• une variable qualitative selon une autre variable qualitative ;
• comparaison de proportions ;
• tableaux croisés.

Aujourd’hui deux variables quantitatives.

Exemple :

Les personnes les plus satisfaites de la répartition des tâches sont-elles aussi les plus satisfaites de leur relation ?

Variables :

OA_SATREP (Satisfaction de la répartition des tâches ménagères avec le conjoint) et OC_SATREL (Satisfaction de la relation avec votre conjoint)

Avant de calculer une corrélation

Comme pour les tableaux croisés en séance 2 :

On commence toujours par regarder les données.

Lorsque deux variables sont quantitatives :

• les visualiser avec un nuage de points.

Objectif :

visualiser la relation entre les deux variables.

Le nuage de points

Questions

• Les points semblent-ils répartis au hasard ?
• Observe-t-on une tendance générale ?
• Lorsque l’une des variables augmente, l’autre tend-elle à augmenter ?
• La relation semble-t-elle forte ou faible ?

Avant de calculer quoi que ce soit, il faut regarder les données.

Que semble montrer ce graphique ?

On observe que :

- les points ne semblent pas répartis complètement au hasard ;

- une tendance générale apparaît : lorsque la satisfaction vis-à-vis de la répartition des tâches augmente, la satisfaction vis-à-vis de la relation tend également à augmenter

La relation semble globalement positive.

Cependant :

- tous les points ne sont pas alignés ;

- des individus ayant la même satisfaction concernant la répartition des tâches peuvent avoir des niveaux de satisfaction relationnelle différents.

L’association semble donc positive, mais imparfaite.

Question : Comment mesurer l’intensité de cette relation par un seul nombre ?

À quoi sert une corrélation ?

Une corrélation permet de répondre à 3 questions :

• Observe-t-on une tendance systématique ou une dispersion aléatoire ? (relation ?) ;
  
• Les variables évoluent-elles dans le même sens ou dans un sens opposé (sens de la relation) ;
  
• La relation observée est-elle forte ou faible ? (intensité de la relation).

Une corrélation ne permet pas :

• d’établir une causalité ;
• d’expliquer le mécanisme sous-jacent ;
• de prédire parfaitement une variable à partir de l’autre.

La corrélation résume une tendance observée dans les données.

Trois situations possibles

Relation positive

Quand X augmente, Y tend aussi à augmenter.

Relation négative

Quand X augmente, Y tend à diminuer.

Absence de relation

Aucune tendance claire n’apparaît.

La corrélation cherche à résumer cette tendance.

Un peu d’histoire

Les premiers travaux sur la corrélation apparaissent à la fin du XIXe siècle.

Plusieurs chercheurs jouent un rôle important :

• Francis Galton ;
• Karl Pearson ;
• Charles Spearman ;
• Maurice Kendall.

Ils cherchent à répondre à une question simple :

Comment mesurer la force d’une relation entre deux variables ?

Aujourd’hui encore, les coefficients de Pearson, Spearman et Kendall sont parmi les outils les plus utilisés.

Avant la corrélation : la covariance

La covariance mesure :

La tendance de deux variables à varier ensemble.

• Covariance positive → les deux variables augmentent ensemble ;
  
• Covariance négative → lorsqu’une augmente, l’autre diminue.

Mais :

Sa valeur dépend des unités de mesure.

Elle est donc difficile à interpréter directement.

De la covariance à la corrélation

La corrélation peut être vue comme :

Une covariance standardisée.

Cette standardisation permet :

• d’obtenir une mesure sans unité ;
• de comparer des relations entre variables très différentes ;
• d’utiliser une même échelle d’interprétation.

On obtient alors un coefficient compris entre -1 et +1.

Le coefficient de corrélation

Le coefficient de corrélation peut prendre des valeurs comprises entre :

• −1 → relation négative parfaite ;
• 0 → absence de relation linéaire ;
• +1 → relation positive parfaite.

Plus la valeur est proche de :

• -1 ou +1 → relation forte ;
  
• 0 → relation faible.

La corrélation mesure le sens et l’intensité d’une association.

Interpréter une corrélation

Quelques repères souvent utilisés :

Corrélation	Interprétation
0 à 0,10	très faible
0,10 à 0,30	faible
0,30 à 0,50	modérée
0,50 à 0,70	forte
> 0,70	très forte

Ces seuils sont des repères fréquemment utilisés mais ne constituent pas des règles universelles.

L’interprétation dépend toujours de la question de recherche, du domaine scientifique et de la qualité des mesures réalisées.

Attention à une erreur fréquente

Une corrélation de : r = 0
ne signifie pas forcément :

Qu’il n’existe aucun lien entre les variables.

Elle signifie seulement :

Qu’aucune relation linéaire n’est observée.

Certaines relations non linéaires peuvent conduire à une corrélation proche de 0.

Cas pratique

Vérifier les valeurs extrêmes

Cas pratique

Vérifier les valeurs extrêmes après suppression des valeurs extrêmes observées

Cas pratique

Vérifier la normalité des distributions

Déjà explorée visuellement à l’aide des histogrammes

Le test de Shapiro-Wilk permet de compléter cette inspection graphique.

shapiro.test(DF2p$OC_SATREL)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  DF2p$OC_SATREL
W = 0.83244, p-value < 2.2e-16

shapiro.test(DF2p$OA_SATREP)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  DF2p$OA_SATREP
W = 0.86698, p-value < 2.2e-16

Calculer une corrélation dans R

cor(
  DF3$OA_SATREP,
  DF3$OC_SATREL,
  use = "complete.obs"
)

[1] 0.5240038

Question :

• La corrélation est-elle positive ou négative ?
  
• Semble-t-elle faible ou forte ?

Interpréter le résultat

On obtient : r = 0.52

Cela signifie :

• une association positive ;
  
• d’intensité relativement forte ;
• les personnes plus satisfaites du partage des tâches tendent aussi à être plus satisfaites de leur relation.

Corrélation et causalité

Une corrélation peut refléter :

• un effet causal ;
• un facteur commun ;
  
• un mécanisme plus complexe ;
  
• une simple association statistique.

Question :

Les personnes plus satisfaites de leur relation évaluent-elles mieux le partage des tâches ?

ou

Un meilleur partage des tâches améliore-t-il la relation ?

Les données ne permettent pas de répondre directement.

Tester la significativité d’une corrélation

Comme pour le khi² :

on peut tester si la corrélation observée est compatible avec l’hypothèse d’absence de relation.

Hypothèse nulle : H0 : corrélation = 0

Hypothèse alternative : H1 : corrélation ≠ 0

Réaliser le test de corrélation

cor.test(
  DF3$OA_SATREP,
  DF3$OC_SATREL
)

    Pearson's product-moment correlation

data:  DF3$OA_SATREP and DF3$OC_SATREL
t = 38.993, df = 4017, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.5012058 0.5460748
sample estimates:
      cor 
0.5240038 

Questions

• La corrélation est-elle positive ou négative ?
• Est-elle faible, modérée ou forte ?
• La p-value est-elle inférieure à 0,05 ?
• L’intervalle de confiance contient-il 0 ?

Test réalisé sur un échantillon

Test réalisé sur un échantillon

L’intervalle de confiance

Comme pour une proportion :

la corrélation observée dans l’échantillon est une estimation.

L’intervalle de confiance indique :

quelles valeurs de corrélation sont plausibles dans la population.

Plus l’intervalle est :

• étroit → estimation précise ;
  
• large → estimation plus incertaine.

Corrélation — Interpréter le résultat

On obtient :

• Corrélation de Pearson : r = 0,52; IC à 95 % : [0,50 ; 0,55] et p-value < 2,2 × 10⁻¹⁶

Que signifie ce résultat ?

La Corrélation est :

• positive ;
  
• d’intensité modérée à assez forte ;
  
• statistiquement différente de 0.

Les personnes les plus satisfaites de la répartition des tâches tendent également à être plus satisfaites de leur relation.

L’intervalle de confiance ne contient pas 0 :

les données sont peu compatibles avec l’hypothèse d’absence de relation.

Attention à l’interprétation

Cette corrélation ne signifie pas que :

la satisfaction du partage des tâches cause directement la satisfaction relationnelle.

Plusieurs explications sont possibles :

• un meilleur partage des tâches améliore la relation ;
• une relation satisfaisante conduit à une meilleure perception du partage des tâches ;
• les deux variables sont influencées par d’autres facteurs.

La corrélation mesure une association, pas une causalité.

Ce n’est pas la méthode d’analyse statistique qui indique la possibilité d’une relation de causalité ou corrélationnelle…

… mais le design de l’étude !!

Application

Étudier la relation entre :

• nombre d’enfants (NBENFTOTM_rec)
  
• satisfaction de la relation (OC_SATREL)

1. réaliser un nuage de points ;
   
2. calculer la corrélation ;
   
3. interpréter le résultat ;
   
4. discuter ses limites.

Que regarder sur un nuage de points ?

Avant de choisir un coefficient de corrélation, plusieurs éléments méritent d’être examinés.

Un seul coefficient de corrélation ?

Jusqu’ici, nous avons utilisé :

la corrélation de Pearson.

Mais il existe plusieurs façons de mesurer une relation entre deux variables.

Les plus utilisées sont :

• le \(r\) de Pearson ;
• le \(rho\) de Spearman ;
• le \(tau\) de Kendall.

Question :

Pourquoi plusieurs coefficients de corrélation existent-ils ?

Des lois, des tests, des échantillons

Avant de choisir une méthode :

• Est-ce qu’elle répond à ma question de recherche ?
  
• Que montre le nuage de points (linéarité de la relation, valeurs extrêmes) ?
  
• Quelle est la nature de mes variables ?
  
• Quelle est la taille de l’échantillon (puissance, précision des estimations, sensibilité des tests) ?

Différents coefficients de corrélation

Même objectif, hypothèses différentes

Tous les coefficients de corrélation cherchent à répondre à la même question :

Existe-t-il une association entre deux variables ?

Mais ils ne reposent pas sur les mêmes hypothèses.

Ils ne réagissent pas de la même façon :

• aux valeurs extrêmes ;
  
• aux distributions asymétriques ;
  
• aux relations non linéaires ;
• aux petits échantillons.

Pearson

La corrélation de Pearson mesure :

l’intensité d’une relation linéaire entre deux variables.

Elle est particulièrement adaptée lorsque :

• La relation est approximativement linéaire ;
  
• Les variables peuvent être traitées comme quantitatives ;
  
• Les valeurs extrêmes ne dominent pas l’analyse.

La normalité des distributions est souvent vérifiée, mais Pearson reste généralement robuste à des écarts modérés à cette hypothèse, en particulier quand les effectifs sont importants.

Une limite de Pearson

La corrélation de Pearson est sensible :

• aux valeurs extrêmes ;
• aux distributions très asymétriques ;
• aux relations non linéaires.

Une seule observation très atypique peut parfois modifier fortement le résultat.

Regarder et corriger les données reste indispensable.

Spearman

La corrélation de Spearman repose sur une autre idée.

Au lieu d’utiliser directement les valeurs observées :

Elle utilise leur rang.

Exemple :

Valeur	Rang
2	1
5	2
8	3
10	4

Spearman compare donc principalement :

L’ordre des observations selon les valeurs des 2 variables.

Pourquoi utiliser les rangs ?

Travailler sur les rangs présente plusieurs avantages :

• moins sensible aux valeurs extrêmes ;
• adapté aux distributions asymétriques ;
  
• permet de détecter certaines relations monotones.

Pearson ou Spearman sur les données ERFI ?

Reprenons notre exemple :

• Satisfaction de la répartition des tâches (OA_SATREP)
  
• Satisfaction de la relation (OC_SATREL)

Les deux variables sont mesurées sur une échelle allant de 0 à 10.

On observe :

• des distributions asymétriques et un effet plafond (beaucoup de réponses élevées) ;
• des variables qui ne suivent pas parfaitement une loi normale.

Question : Faut-il utiliser Pearson ou Spearman ?

Pearson ou Spearman : deux approches possibles

Pearson

• utilise directement les valeurs observées ;
• mesure une relation linéaire ;
• souvent utilisé pour les scores / échelles quantitatives (plus précis, plus puissant, intensité relation linéaire).

Spearman

• repose sur l’ordre des observations plutôt que sur leurs valeurs exactes ;
• est moins influencé par les valeurs extrêmes ;
  
• convient bien aux variables ordinales ;
  
• permet d’étudier des relations monotones qui ne sont pas nécessairement linéaires.

Question :

Les deux coefficients conduiront-ils à la même conclusion ?

Calcul corrélation de Pearson et Spearman

cor.test(
  DF3$OA_SATREP,
  DF3$OC_SATREL,
  method = "pearson"
)

    Pearson's product-moment correlation

data:  DF3$OA_SATREP and DF3$OC_SATREL
t = 38.993, df = 4017, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.5012058 0.5460748
sample estimates:
      cor 
0.5240038 

cor.test(
  DF3$OA_SATREP,
  DF3$OC_SATREL,
  method = "spearman"
)

    Spearman's rank correlation rho

data:  DF3$OA_SATREP and DF3$OC_SATREL
S = 5199199083, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true rho is not equal to 0
sample estimates:
      rho 
0.5194554 

Comparaison des résultats

Méthode	Corrélation
Pearson	0.52
Spearman	0.52

Questions

• Les conclusions changent-elles ?
• L’intensité de la relation est-elle différente ?
• Le choix de la méthode modifie-t-il l’interprétation ?

Pearson et Spearman sont proches

Lorsque :

• la relation est régulière et monotone ;
  
• les valeurs extrêmes sont limitées ;
  
• les données ne présentent pas de situations atypiques majeures.

C’est fréquemment le cas avec :

• des scores de satisfaction ;
• des notes ;
• des indices composites.

Quand les résultats peuvent-ils différer ?

Les différences deviennent plus importantes lorsque :

• la relation n’est pas linéaire ;
  
• quelques observations extrêmes influencent fortement les résultats ;
  
• les variables sont ordinales ;
  
• les distributions sont très dissymétriques et comportent des valeurs extrêmes.

Dans ces situations :

le choix du coefficient devient plus important.

Comment choisir ?

Pearson

• variables traitées comme quantitatives ;
  
• relation linéaire ;
  
• interprétation classique.

Spearman

• variables ordinales ou quantitatives ;
• relation monotone mais pas nécessairement linéaire ;
  
• moins sensible aux valeurs extrêmes.

Aucun coefficient n’est “meilleur” dans l’absolu. Le choix dépend des hypothèses que l’on accepte.

Pourquoi comparer Pearson et Spearman ?

Lorsque Pearson et Spearman donnent des résultats très proches :

les conclusions sont généralement robustes au choix du coefficient.

Lorsque les résultats diffèrent fortement :

• relation non linéaire ;
• influence de quelques observations extrêmes ;
• variables ordinales ou distributions très dissymétriques.

Comparer plusieurs approches est parfois une façon de tester la robustesse d’un résultat.

ATTENTION : ne pas tout tester pour ne pas créer de faux-positifs.

Et Kendall ?

Un autre coefficient de corrélation existe : le coefficient de Kendall (τ).

Comme Spearman :

• il repose sur les rangs (s’intéresse à la cohérence de l’ordre des observations entre deux variables : quand un individu est mieux classé sur une variable, est il aussi mieux classé sur l’autre ?) ;
• il convient bien aux variables ordinales ;
• il est moins sensible aux valeurs extrêmes que Pearson.

Il est souvent utilisé :

• avec de petits échantillons ;
  
• lorsqu’il existe de nombreuses égalités de rang.

En pratique :

En pratique, Spearman et Kendall donnent souvent des résultats proches.

Matrice de corrélation

# Correlation Matrix (spearman-method)

Parameter  | VA_DROITHOMO_rec | VA_EFTAUTO | VA_MERSEUL | VA_DEUXPAR
--------------------------------------------------------------------
VA_MARIDEP |          0.07*** |      0.05* |    0.14*** |   -0.14***
VA_COHAB   |          0.12*** |    0.08*** |    0.23*** |   -0.10***
VA_MARITJS |         -0.11*** |      0.04* |   -0.14*** |    0.29***
VA_DIVORC  |          0.11*** |     0.06** |    0.24*** |   -0.11***
VA_FEMENF  |         -0.11*** |    0.09*** |   -0.10*** |    0.32***
VA_HOMENF  |         -0.09*** |    0.07*** |   -0.10*** |    0.30***
VA_DEUXPAR |         -0.17*** |    0.13*** |   -0.13*** |           
VA_MERSEUL |          0.12*** |    0.12*** |            |           
VA_EFTAUTO |            -0.01 |            |            |           

Parameter  | VA_HOMENF | VA_FEMENF | VA_DIVORC | VA_MARITJS | VA_COHAB
----------------------------------------------------------------------
VA_MARIDEP |  -0.07*** |   -0.05** |   0.08*** |   -0.21*** |  0.22***
VA_COHAB   |  -0.09*** |  -0.08*** |   0.32*** |   -0.21*** |         
VA_MARITJS |   0.22*** |   0.22*** |  -0.20*** |            |         
VA_DIVORC  |  -0.10*** |  -0.09*** |           |            |         
VA_FEMENF  |   0.86*** |           |           |            |         
VA_HOMENF  |           |           |           |            |         
VA_DEUXPAR |           |           |           |            |         
VA_MERSEUL |           |           |           |            |         
VA_EFTAUTO |           |           |           |            |         

p-value adjustment method: Holm (1979)

La matrice de corrélation indique que l’ensemble des variables sont corrélées et donc partagent une part de variance commune.
2 variables sont extrêmement corrélées : VA_HOMENF et VA_FEMENF : rho = 0.86.

Lire une matrice de corrélation

Dans une matrice de corrélation :

• les valeurs sont comprises entre -1 et +1 ;
• une valeur positive indique que les deux variables évoluent dans le même sens ;
  
• une valeur négative indique qu’elles évoluent en sens inverse ;
  
• plus la valeur est proche de -1 ou +1, plus la relation est forte.

une variable est parfaitement corrélée avec elle-même.

ATTENTION : Ce sont toujours des corrélations 2 à 2…

Interpréter quelques résultats

On observe :

• une forte corrélation entre VA_FEMENF et VA_HOMENF (ρ = 0,86) ;
  
• quelques corrélations modérées entre des questions portant sur la famille et le couple ;
  
• plusieurs corrélations proches de 0.

Cela suggère que :

• certaines variables mesurent des opinions proches ;
  
• d’autres apportent une information plus spécifique.

La matrice permet ainsi de repérer rapidement les variables les plus liées entre elles.

Attention

Une matrice de corrélation est un outil d’exploration.

Elle permet de repérer :

• des associations ;
• des groupes de variables proches ;
  
• des pistes d’analyse.

Mais elle ne suffit pas pour conclure :

• à une causalité ;
• à une structure théorique définitive ;
• à une explication.

Elle sert surtout à orienter l’interprétation.

Corrélogramme

Une matrice de corrélation peut être difficile à lire.

On peut la représenter sous forme graphique :

un corrélogramme.

Lire un corrélogramme

Dans un corrélogramme :

• chaque case représente une corrélation ;
• la couleur indique le sens de la relation ;
• l’intensité de la couleur indique la force de la corrélation ;
• les valeurs numériques indiquent le coefficient de corrélation.

Questions

• Quelles variables semblent les plus proches ?
• Observe-t-on des blocs de variables corrélées ?
• Certaines variables semblent-elles peu liées aux autres ?

Pourquoi est-ce utile ?

La matrice de corrélation permet de passer :

d’une analyse variable par variable

à :

une vision d’ensemble des relations entre variables.

Elle peut aider à :

• repérer des dimensions communes ;
• identifier des variables redondantes ;
• préparer des analyses multivariées.

Analyser des données quantitatives

Deux grandes situations

Depuis le début de cette séance, deux types de questions.

1. Relier deux variables quantitatives

Les personnes les plus satisfaites du partage des tâches sont-elles aussi les plus satisfaites de leur relation ?

Outil principal : corrélation.

2. Comparer une variable quantitative entre plusieurs groupes

La satisfaction de la relation est-elle la même chez les femmes et les hommes ?

Outils principaux : comparaison de moyennes (test t, ANOVA, etc.).

Le choix dépend toujours du type de variables étudiées.

Une nouvelle question statistique

Jusqu’ici :

• deux variables quantitatives ;
• une corrélation.

Nous allons maintenant étudier :

• une variable quantitative ;
• une variable qualitative.

Exemple :

Les femmes et les hommes déclarent-ils le même niveau de satisfaction dans leur relation ?

Variables mobilisées

Variable quantitative :

• OC_SATREL
  • satisfaction de la relation.

Variable qualitative :

• MA_SEXE
  • sexe du répondant.

Question :

Les femmes et les hommes présentent-ils le même niveau moyen de satisfaction relationnelle ?

Avant de comparer

Comme pour la corrélation :

on commence toujours par explorer les données.

Avant toute comparaison, il est utile de vérifier :

• les effectifs ;
• la distribution des valeurs par groupe ;
• la présence éventuelle de valeurs atypiques ;
• la dispersion.

Une moyenne seule ne raconte jamais toute l’histoire.

Première étape : visualiser

Avant de calculer une moyenne :

observons la distribution des données par groupe.

Questions :

• Les distributions semblent-elles similaires entre les groupes comparés?
  
• Les médianes paraissent-elles proches ?
  
• Observe-t-on une forte dispersion ?
  
• Certaines valeurs paraissent-elles atypiques ?

Avant de tester, il faut comprendre ce que montrent les données.

Que semble montrer ce graphique ?

Le graphique suggère que :

• les femmes et les hommes présentent des niveaux de satisfaction relationnelle assez proches ;
• les médianes semblent similaires ;
• les distributions se recouvrent largement ;
• la dispersion est importante dans les deux groupes.

S’il existe une différence, elle paraît relativement faible.

Mais une impression visuelle ne suffit pas.

Comment déterminer si cette différence est compatible avec le hasard ?

Résumer chaque groupe

Une première approche consiste à calculer :

• la moyenne ;
• l’écart-type ;
• les effectifs.

DF3 |>
  group_by(MA_SEXE) |>
  summarise(
    moyenne = mean(OC_SATREL, na.rm = TRUE),
    ecart_type = sd(OC_SATREL, na.rm = TRUE),
    n = n()
  )

# A tibble: 2 × 4
  MA_SEXE moyenne ecart_type     n
  <fct>     <dbl>      <dbl> <int>
1 1          8.71       1.32  1646
2 2          8.36       1.54  2373

Moyennes et intervalles de confiance

Questions :

• Les moyennes semblent-elles proches ?
  
• Les estimations paraissent-elles précises ?
  
• Que suggère le graphique ?

Peut-on déjà conclure à une différence entre les groupes ?

Comparer des moyennes

Une différence de moyenne observée

On obtient :

• moyenne des hommes : 8,4 ;
• moyenne des femmes : 8,7.

L’écart observé est d’environ :

0,3 point sur une échelle de 0 à 10.

Question :

Cette différence reflète-t-elle une véritable différence entre les groupes ?

ou

Peut-elle simplement s’expliquer par les fluctuations d’échantillonnage ?

Une moyenne est une estimation

Comme une proportion ou une corrélation :

une moyenne observée dans l’échantillon n’est qu’une estimation de la moyenne dans la population.

Elle est donc soumise à une incertitude d’échantillonnage.

Cette incertitude peut être résumée par :

• un intervalle de confiance ;
• ou un test statistique.

Le test t repose précisément sur cette logique.

Comme pour les corrélations…

Observer une différence ne suffit pas.

Nous devons également évaluer :

• son importance (taille d’effet) ;
• son incertitude ;
• sa compatibilité avec l’hypothèse d’absence de différence.

Nous allons donc utiliser :

le test t de Student.

Avant le test t

Nous observons une différence de moyenne.

Mais observer une différence ne suffit pas à conclure.

Même si deux groupes ont exactement la même moyenne dans la population :

peut-on observer une différence dans un échantillon ? Pourquoi ?

Oui. Parce qu’un échantillon n’est qu’une partie de la population.

Les moyennes observées varient naturellement d’un échantillon à l’autre :

• par hasard ;
• à cause de la variabilité individuelle ;
• à cause du tirage des individus.

Toute différence observée n’est donc pas nécessairement une différence réelle.

Pourquoi ne pas comparer seulement les moyennes ?

Imaginons deux situations :

• différence de moyenne = 0,3 point ;
• différence de moyenne = 0,3 point.

Mais :

• dans le premier cas, les réponses sont très homogènes ;
• dans le second, elles sont très dispersées.

→ Une même différence n’a donc pas la même signification selon la variabilité des données.

Pour interpréter une différence, il faut tenir compte :

• de l’écart observé ;
• de la dispersion des réponses ;
• de la taille de l’échantillon.

L’idée générale du test \(t\)

Le test \(t\) cherche à répondre à une question simple :
La différence observée entre les moyennes est-elle plus grande que ce que l’on pourrait attendre par hasard ?

Comme pour le khi² ou la corrélation, on compare :

• ce que l’on observe dans l’échantillon ;
• ce que l’on attendrait si les groupes étaient identiques dans la population.

Hypothèse nulle :

les deux groupes ont la même moyenne dans la population.

Le test t met donc en regard :

• la différence observée ;
• la variabilité des données.

Les applications du test \(t\)

• Le t de Student permet de comparer des moyennes selon deux groupes (maximum)

• Les deux groupes peuvent être exclusifs - comparaisons inter-groupes (ex. difficile d’être jeune et âgé en même temps…)

• Les deux groupes peuvent comprendre les mêmes observations sur 2 temps de mesures - comparaisons intra-groupes

• Il est également possible de comparer la moyenne d’un groupe à une valeur fixe (constante) - comparaisons pour échantillon unique

Origines du \(t\) de Student (ou test \(t\))

D’où ça vient ?

Du début du XXe siècle par William Gosset (alias Student)

employé par la brasserie Guiness…

Test \(t\) - cas pratique

Comparer la satisfaction (moyenne) de la relation selon le sexe.

Il s’agit donc d’un test \(t\) pour échantillons indépendants (ou inter-groupes)

Avant de tester

Vérifier si les variances se répartissent de façon homogène autour de la valeur moyenne

Déjà observée graphiquement

Vérifier l’homogénéité des variances (par groupe)

Test de Lévène

leveneTest(DF3$OC_SATREL~DF3$MA_SEXE)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
        Df F value    Pr(>F)    
group    1   40.79 1.888e-10 ***
      4017                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Réaliser le test t

t.test(
  OC_SATREL ~ MA_SEXE,
  data = DF3,
  var.equal=FALSE
)

    Welch Two Sample t-test

data:  OC_SATREL by MA_SEXE
t = 7.7311, df = 3845.9, p-value = 1.352e-14
alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 0.2616953 0.4395226
sample estimates:
mean in group 1 mean in group 2 
       8.708384        8.357775 

Le résultat fournit :

• les moyennes observées ;
• un intervalle de confiance ;
• une statistique t ;
• une p-value.

Lire le résultat

Questions

• La p-value est-elle inférieure à 0,05 ?
• L’intervalle de confiance contient-il 0 ?
• Les données sont-elles compatibles avec l’hypothèse d’égalité des moyennes ?

1. La p-value est-elle inférieure à 0,05 ?
Oui (p-value = 1.352e-14)
Cette valeur est inférieure à 0,05.

2. L’intervalle de confiance contient-il 0 ?
Non. (IC95% = [0.262 ; 0.440]) Toutes les valeurs de l’intervalle sont positives.

3. Les données sont-elles compatibles avec l’hypothèse d’égalité des moyennes ?
Non. Les données observées seraient très peu probables si les femmes et les hommes avaient exactement la même moyenne dans la population.

On rejette donc l’hypothèse d’égalité des moyennes.

Interpréter le résultat

Le test suggère une différence moyenne de satisfaction relationnelle entre les femmes et les hommes.

On observe :

• moyenne des femmes : 8,71 ;
• moyenne des hommes : 8,36 ;
• différence estimée : environ 0,35 point.

Cependant :

une différence statistiquement significative n’est pas forcément une différence importante.

Sur une échelle de 0 à 10 :

un écart d’environ 0,35 point reste relativement faible.

Attention à une erreur fréquente

Une p-value faible ne signifie pas :

que la différence est importante.

Elle signifie seulement :

que les données sont peu compatibles avec l’hypothèse d’égalité des moyennes.

Avec de grands échantillons :

• des écarts très faibles peuvent devenir significatifs.

Taille d’effet : une autre question

Le test \(t\) répond à :

« Existe-t-il une différence entre les groupes ? »

Mais souvent la vraie question est :

« Cette différence est-elle importante ? »

Pour cela, on utilise une mesure de taille d’effet.

Le \(d\) de Cohen

Une mesure classique est le d de Cohen.

L’idée est simple :

• comparer l’écart entre les moyennes ;
• à la variabilité observée dans les données.

Autrement dit le d de Cohen indique si la différence observée est grande ou petite relativement à la dispersion des réponses.

Par exemple :

• si les groupes diffèrent de 0,5 point mais que les réponses varient très peu, cette différence peut être importante ;
  
• si les groupes diffèrent de 0,5 point mais que les réponses sont très dispersées, cette différence peut être faible.

Le \(d\) de Cohen standardise donc la différence observée afin de faciliter son interprétation.

Interpréter le \(d\) de Cohen

Balises de Cohen :

d	Interprétation
0,2	effet faible
0,5	effet modéré
0,8	effet fort

Exemple :

• d = 0,2 → les distributions des groupes se recouvrent largement ;
• d = 0,8 → les groupes sont beaucoup plus distincts.

NB : un \(d\) de Cohen peut être supérieur à 1, car il s’agit d’une différence d’écart-types…

Une intuition du \(d\) de Cohen

Imaginons deux situations :

• différence de moyenne = 0,5 point ;
• différence de moyenne = 0,5 point.

Mais :

• dans le premier cas, les réponses sont très homogènes ;
• dans le second, elles sont très dispersées.

Le d de Cohen sera plus élevé dans le premier cas.

Pourquoi ?

Parce que la même différence représente davantage lorsqu’elle est observée dans un groupe peu dispersé.

Calculer le \(d\) de Cohen

effectsize::cohens_d(
  OC_SATREL ~ MA_SEXE,
  data = DF3)

Cohen's d |       95% CI
------------------------
0.24      | [0.18, 0.30]

- Estimated using pooled SD.

Questions

• La taille d’effet est-elle faible ?
• modérée ?
• forte ?

d = 0,24 correspond à une taille d’effet faible.

Cela signifie que :

• les femmes et les hommes diffèrent en moyenne ;
  
• mais leurs distributions se recouvrent largement ;
• ATTENTION : la taille de l’échantillon est très élevée, donc un effet est observé, mais il est faible.

La différence est statistiquement significative, mais son ampleur reste relativement faible.

ATTENTION au risque d’artefacts

Mettre les résultats ensemble

Pour interpréter correctement une comparaison :

• regarder la différence de moyenne ;
  
• regarder l’intervalle de confiance ;
  
• regarder la p-value ;
  
• regarder la taille d’effet.

Aucun indicateur ne suffit à lui seul.

Synthèse des résultats

Question : Les femmes et les hommes présentent-ils le même niveau moyen de satisfaction relationnelle ?

Nous observons :

• moyenne des femmes : 8,71 ;
• moyenne des hommes : 8,36 ;
• différence estimée : 0,35 point.

Le test \(t\) indique que :

• p-value < 0,001 ; IC95% = [0,26 ; 0,44] ;
  
• l’hypothèse d’égalité des moyennes est rejetée.

La taille d’effet est :

• d de Cohen = 0,24 –> effet faible.

Les femmes déclarent en moyenne une satisfaction relationnelle légèrement plus élevée que les hommes.

Cette différence est statistiquement significative, mais son ampleur reste faible.

La taille de l’échantillon étant importante, les écarts ressortent plus facilement et le résultat est à prendre avec prudence.

Une situation très fréquente

On peut observer :

• une p-value < 0.05 ;
• une taille d’effet très faible.

Cela signifie :

une différence probablement réelle,

mais :

d’importance pratique limitée Risque d’artefact

Comme pour le V de Cramer en séance 2 :

statistiquement significatif ne veut pas dire scientifiquement important.

Application : comparer deux groupes

Question :

Les personnes ayant des enfants cohabitants déclarent-elles le même niveau de satisfaction relationnelle que celles n’ayant pas d’enfant cohabitant ?

Variable quantitative : OC_SATREL

Variable qualitative : enf_cat

1. Réaliser un boxplot.
   
2. Calculer les moyennes par groupe.
   
3. Réaliser un test t.
   
4. Calculer le d de Cohen.
   
5. Interpréter les résultats.

Quand il y a plus de deux groupes

Jusqu’ici, le test t permettait de comparer :

une variable quantitative entre deux groupes.

Mais souvent, on souhaite comparer plus de deux groupes.

Exemple :

La satisfaction relationnelle varie-t-elle selon le niveau de diplôme ?

Variable quantitative : OC_SATREL : satisfaction de la relation

Variable qualitative : MC_DIPLOME : niveau de diplôme

Pourquoi ne pas faire plusieurs tests t ?

On pourrait comparer les groupes deux à deux :

• groupe 1 vs groupe 2 ;
  
• groupe 1 vs groupe 3 ;
  
• groupe 2 vs groupe 3 ;
  
• etc.

Mais :

plus on multiplie les tests, plus on augmente le risque de trouver une différence “significative” par hasard (faux positifs)

C’est le problème des comparaisons multiples.

L’idée générale de l’ANOVA

L’ANOVA permet de comparer :

les moyennes d’une variable quantitative entre plusieurs groupes.

Elle répond à une question globale :

au moins un groupe a-t-il une moyenne différente des autres ?

Hypothèse nulle :

toutes les moyennes sont égales dans la population.

Visualiser avant de tester

Questions

• Les médianes semblent-elles proches ou différentes ?
• Certains groupes semblent-ils plus dispersés ?
• Les distributions se recouvrent-elles fortement ?
• Observe-t-on des valeurs atypiques ?

. . .

• Les médianes paraissent très proches.
  
• Les niveaux de dispersion semblent comparables.
  
• Les distributions se recouvrent largement.
  
• Quelques valeurs atypiques apparaissent dans plusieurs groupes.

Aucune différence très marquée n’apparaît visuellement entre les niveaux de diplôme.

Le graphique suggère des différences faibles, mais seule une analyse statistique permettra de déterminer si elles sont compatibles avec le hasard.

Résumer par groupe

DF3 |>
  group_by(MC_DIPLOME) |>
  summarise(
    moyenne = mean(OC_SATREL, na.rm = TRUE),
    ecart_type = sd(OC_SATREL, na.rm = TRUE),
    n = n()
  )

# A tibble: 9 × 4
  MC_DIPLOME           moyenne ecart_type     n
  <ord>                  <dbl>      <dbl> <int>
1 Aucun                   8.37       1.70   430
2 CEP                     8.51       1.54   357
3 Brevet                  8.46       1.45   281
4 CAP/BEP                 8.43       1.49  1152
5 BAC technique ou pro    8.59       1.32   291
6 BAC général             8.63       1.36   257
7 BAC +2                  8.60       1.21   414
8 >BAC+2                  8.56       1.44   797
9 <NA>                    8.45       1.65    40

Questions

• Quelle moyenne est la plus élevée ?
• Quelle moyenne est la plus faible ?
• Les écarts semblent-ils importants ?

. . .

• Plus élevée : > Bac+2 (8,60)
  
• Plus faible : Bac général (8,43)

Écart maximal : 8.60 - 8.43 = 0.17
Soit moins de 0,2 point sur une échelle de 0 à 10.

Les différences observées paraissent relativement faibles.

Question suivante :

Ces écarts sont-ils compatibles avec le hasard ou traduisent-ils une différence réelle entre niveaux de diplôme ?

Avant de réaliser une ANOVA

Vérifier les conditions d’application :

Les valeurs doivent se répartir de façon homogène autour de la valeur moyenne entre les groupes

Vérifier l’homogénéité des variances

Test de Lévène

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
        Df F value    Pr(>F)    
group    7  5.2296 5.929e-06 ***
      3971                      
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

NB : Il est recommandé de ne pas faire d’ANOVA quand l’homogénéité des variances n’est pas respectée, mais de se tourner vers d’autres tests (non-paramétriques par exemple)

Réaliser une ANOVA

modele_anova <- aov(
  OC_SATREL ~ MC_DIPLOME,
  data = DF3
)

summary(modele_anova)

              Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
MC_DIPLOME     7     27   3.808   1.783 0.0862 .
Residuals   3971   8480   2.136                 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
40 observations effacées parce que manquantes

L’ANOVA permet de tester :

les niveaux moyens de satisfaction relationnelle sont-ils identiques pour tous les niveaux de diplôme ?

Hypothèse nulle :

toutes les moyennes sont égales dans la population.

Lire le résultat

              Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
MC_DIPLOME     7     27   3.808   1.783 0.0862 .
Residuals   3971   8480   2.136                 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
40 observations effacées parce que manquantes

Questions

• La p-value est-elle inférieure à 0,05 ?
• Peut-on rejeter l’hypothèse d’égalité des moyennes ?
• Les données sont-elles compatibles avec l’hypothèse nulle ?

. . .

• p = 0,246
• p > 0,05

Les données sont compatibles avec l’hypothèse d’égalité des moyennes.

On ne rejette pas l’hypothèse nulle.

Interpréter le résultat

Nous avions observé :

• quelques différences de moyenne ;
  
• un écart maximal d’environ 0,17 point.

Cependant :

ces différences sont faibles au regard de la variabilité observée dans les données.

Le test ANOVA suggère donc que :

les écarts observés peuvent être expliqués par les fluctuations d’échantillonnage.

Conclusion :

nous ne mettons pas en évidence de différence de satisfaction relationnelle selon le niveau de diplôme.

À quoi servent les comparaisons post-hoc ?

L’ANOVA répond à une question globale :

Toutes les moyennes sont-elles identiques ?

Elle ne permet pas de savoir quels groupes diffèrent précisément.

Par exemple, si l’ANOVA est significative :

• le groupe Bac+2 diffère-t-il du groupe CAP/BEP ?
  
• le groupe > Bac+2 diffère-t-il du groupe Bac général ?
  
• ou plusieurs groupes à la fois ?

Pour répondre à ces questions, on peut utiliser :

TukeyHSD(modele_anova)

Ce test compare chaque groupe à tous les autres tout en contrôlant le risque d’erreur lié à la multiplicité des tests.

Une différence peut s’observer globalement, mais pas entre certains groupes.

Faut-il réaliser des comparaisons post-hoc ?

Les comparaisons post-hoc consistent à comparer :

chaque groupe avec tous les autres groupes.

Mais ici :

• l’ANOVA n’est pas significative ;
  
• aucune différence globale n’a été mise en évidence.

Il n’est donc pas nécessaire de rechercher quels groupes diffèrent.

En pratique :

on réalise généralement les tests post-hoc uniquement lorsque l’ANOVA est significative.

Taille d’effet de l’ANOVA

L’ANOVA répond à la question :

Existe-t-il une différence entre les groupes ?

Mais elle ne dit pas :

Quelle est l’importance de cette différence ?

Pour cela, on utilise une taille d’effet :

• η² (eta carré) ;
  
• ω² (omega carré).

Ces indicateurs mesurent :

la part de la variabilité de la variable expliquée par le facteur étudié.

NB : Ils sont compris entre 0 et 1

Comment interpréter η² ?

L’idée est simple :

quelle proportion des différences observées entre individus est associée au niveau de diplôme ?

Exemples :

• η² = 0,20 → le diplôme explique environ 20 % de la variabilité observée ;
  
• η² = 0,05 → le diplôme explique environ 5 % de la variabilité observée ;
  
• η² = 0,002 → le diplôme explique environ 0,2 % de la variabilité observée.

Plus η² est élevé :

plus le facteur est associé à la variable étudiée.

Interpréter la taille d’effet

Résultats :

Eta²

# Effect Size for ANOVA

Parameter  |     Eta2 |       95% CI
------------------------------------
MC_DIPLOME | 3.13e-03 | [0.00, 1.00]

- One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].

Omega²

# Effect Size for ANOVA

Parameter  |   Omega2 |       95% CI
------------------------------------
MC_DIPLOME | 1.38e-03 | [0.00, 1.00]

- One-sided CIs: upper bound fixed at [1.00].

Questions

• La part de variance expliquée est-elle importante ?
  
• Le niveau de diplôme semble-t-il fortement lié à la satisfaction relationnelle ?

. . .

• η² ≈ 0,002
• soit moins de 0,02 % de la variance expliquée

Le niveau de diplôme explique une part extrêmement faible des différences de satisfaction relationnelle.

Cette conclusion est cohérente avec :

• le graphique ;
• les moyennes observées ;
• le résultat de l’ANOVA.

Synthèse

Question :

Les niveaux de satisfaction relationnelle diffèrent-ils selon le diplôme ?

Nous observons :

• des moyennes très proches ;
  
• un écart maximal d’environ 0,17 point.

Le test ANOVA indique :

• p = 0,246 ;
  
• aucune différence statistiquement significative.

La taille d’effet indique :

• η² ≈ 0,002 ;
  
• effet pratiquement nul.

Les données ne mettent pas en évidence de lien entre niveau de diplôme et satisfaction relationnelle.

Jusqu’ici…

Nous avons utilisé :

• le khi² ;
• la corrélation ;
• le test t ;
• l’ANOVA.

Tous ces outils permettent :

d’évaluer des associations dans les données.

Mais plusieurs pièges peuvent conduire à des conclusions erronées.

Premier point d’attention : multiplier les tests

Imaginons :

• 1 test statistique ;
  
• seuil de 5 %.

Même si aucun effet réel n’existe :

il existe environ 5 % de risque d’obtenir un résultat significatif par hasard.

Que se passe-t-il avec beaucoup de tests ?

Supposons :

• 20 corrélations ;
  
• aucune relation réelle.

Avec un seuil de 5 % :

on s’attend en moyenne à environ un résultat significatif simplement par hasard.

Plus on teste :

• plus le risque augmente ;
• plus les faux positifs deviennent probables.

Faux positif : de quoi parle-t-on ?

Un faux positif correspond à :

conclure à une association alors qu’elle n’existe pas dans la population.

Les faux positifs peuvent apparaître :

• par hasard ;
• à cause de nombreux tests ;
• à cause d’un échantillon trop petit ;
• à cause d’un échantillon particulier.

Exemple

On calcule :

• satisfaction relationnelle ;
• satisfaction des tâches ;
• nombre d’enfants ;
• diplôme ;
• opinions ;
• revenus ;
• etc.

Puis on conserve uniquement les résultats significatifs.

combien de résultats auraient pu apparaître significatifs simplement par hasard ?

. . .

Environ 5 % des résultats pourraient apparaître significatifs uniquement par hasard.

• 20 tests → environ 1 résultat significatif attendu par hasard ;
  
• 100 tests → environ 5 résultats significatifs attendus par hasard.

Pourquoi distinguer exploration et confirmation ?

Lorsque l’on explore les données :

• on teste souvent de nombreuses relations ;
• certains résultats peuvent apparaître significatifs par hasard.

Un résultat exploratoire n’est donc pas nécessairement faux :

mais il doit être considéré comme une piste à vérifier.

L’analyse confirmatoire vise précisément à :

• tester une hypothèse formulée à l’avance ;
• limiter le risque de conclusions trompeuses.

Deuxième piège : l’indépendance des observations

Toutes les méthodes vues jusqu’ici supposent généralement :

que les observations sont indépendantes.

Autrement dit :

connaître la réponse d’un individu ne doit pas permettre de prédire directement celle d’un autre.

Quand cette hypothèse est-elle violée ?

Exemples :

• élèves dans une même classe ;
• individus d’un même ménage ;
• mesures répétées sur une même personne ;
• arbres d’une même parcelle ;
• animaux d’une même colonie.

Les observations se ressemblent souvent davantage à l’intérieur d’un même groupe.

Pourquoi est-ce un problème ?

Lorsque les observations sont corrélées :

• l’information réellement disponible est moins importante qu’il n’y paraît ;
• les erreurs standards sont sous-estimées ;
• les intervalles de confiance deviennent trop étroits ;
• les p-values deviennent trop optimistes.

Le risque de faux positifs augmente.

Un exemple classique : la pseudo-réplication

Imaginons :

• 10 parcelles ;
  
• 100 plantes par parcelle.

On mesure :

• 1000 plantes.

Question :

dispose-t-on réellement de 1000 observations indépendantes ?

Non.

Les plantes d’une même parcelle partagent souvent :

• le même environnement ;
  
• le même sol ;
  
• les mêmes conditions climatiques.

Que faire dans ces situations ?

Lorsque les données présentent une structure particulière :

• groupes ;
• hiérarchies ;
• répétitions ;
• dépendance spatiale ou temporelle ;

on utilise souvent :

• modèles mixtes ;
• modèles hiérarchiques ;
• modèles spatiaux ou temporels ;
• bootstrap par blocs.

Ces méthodes cherchent à tenir compte explicitement de la dépendance des observations.

Troisième piège : grands échantillons et significativité

Imaginons :

• n = 10 000 ;
• corrélation = 0,04 ;
• p-value < 0,001.

Question : Ce résultat est-il important ?

Pas forcément. Avec de grands échantillons :

• des effets très faibles peuvent devenir statistiquement significatifs ;
  
• des p-values très petites sont fréquentes.

C’est pourquoi il faut toujours regarder :

• la taille d’effet (corrélation, d de Cohen, η², V de Cramer, etc.) ;
• l’intervalle de confiance ;
  
• l’intérêt scientifique du résultat.

Une p-value répond à la question « existe-t-il probablement un effet ? »

Une taille d’effet répond à la question « cet effet est-il important ? »

Rappel : multiplier les tests

Ce problème est encore plus important lorsque l’on réalise :

• de nombreuses corrélations ;
  
• plusieurs tests t ;
• plusieurs comparaisons de groupes.

Même en l’absence d’effet réel :

certains résultats peuvent devenir significatifs par hasard.

Nous avons déjà rencontré ce problème lors de la séance 2.

Pour limiter ce risque, on peut utiliser :

• des corrections de multiplicité, par exemple la correction de Bonferroni.

Plus on multiplie les tests, plus l’interprétation doit être prudente.

Une même logique tout au long de la formation

Depuis la séance 1, nous avons toujours suivi la même démarche :

1. poser une question ;
2. explorer les données ;
3. choisir une méthode adaptée ;
4. interpréter les résultats ;
5. discuter les limites.

Les méthodes changent, mais la logique reste la même.

Selon la question posée…

Question	Outil principal
Deux variables qualitatives	Khi²
Deux variables quantitatives	Corrélation
Une variable quantitative, deux groupes	Test t
Une variable quantitative, plusieurs groupes	ANOVA

La méthode dépend toujours de la nature des variables.

Ce que nous avons appris

Pour deux variables quantitatives :

• visualiser avec un nuage de points ;
• mesurer une corrélation ;
• interpréter son intensité ;
• distinguer Pearson et Spearman ;
• ne pas confondre corrélation et causalité.

Ce que nous avons appris

Pour comparer des groupes :

• visualiser les distributions ;
• comparer des moyennes ;
• interpréter un test t ;
• interpréter une ANOVA ;
• utiliser une taille d’effet.

Message clé n°1

Une moyenne est :

une estimation.

Elle dépend :

• de l’échantillon observé ;
• de la variabilité des données ;
• de l’incertitude d’échantillonnage.

C’est pourquoi :

• les intervalles de confiance sont importants.

Souvenirs de 5ème

Mme Cauchy obtient une moyenne de 10.5 pour sa classe de 5ème

M. Germain obtient une moyenne de 10.5 pour sa classe de 5ème

La moyenne est-elle toujours l’indicateur le plus adapté pour rendre compte d’une distribution ?

Message clé n°2

Une corrélation :

n’est pas une causalité.

Une association peut refléter :

• un effet causal ;
• une variable cachée ;
• un effet de structure ;
• un mécanisme plus complexe.

Les données seules ne suffisent pas toujours à établir une explication.

Message clé n°3

Une p-value :

n’est pas une taille d’effet.

Une p-value répond à :

« Les données sont-elles compatibles avec l’hypothèse nulle ? »

Une taille d’effet répond à :

« L’association observée est-elle importante ? »

Message clé n°4

Toutes les variables numériques :

ne sont pas forcément des mesures quantitatives.

Certaines variables correspondent à :

• des échelles ;
• des réponses ordinales.

Le choix de la méthode dépend :

• des hypothèses acceptées ;
• de la distribution de la variable ;
• de la question de recherche.

Message clé n°5

La plupart des méthodes classiques supposent :

des observations indépendantes.

Lorsque cette hypothèse est violée :

• les p-values peuvent devenir trop optimistes ;
• les intervalles de confiance trop étroits ;
• les conclusions trop confiantes.

Cette hypothèse est souvent aussi importante que le choix du test lui-même.

Lorsque les variables se multiplient

Jusqu’ici, nous avons surtout étudié :

• une relation à la fois ;
• deux variables à la fois ;
• une comparaison à la fois.

Mais dans beaucoup de recherches, on dispose de nombreuses variables.

Exemple ici :

plusieurs variables d’opinion sur le couple, la famille et la parentalité.

Question :

comment repérer rapidement quelles variables sont liées entre elles ?

Vers la séance suivante

Lorsque plusieurs variables sont corrélées entre elles, on peut se demander :

existe-t-il des dimensions plus générales derrière ces variables ?

Par exemple :

• une dimension “valeurs familiales traditionnelles” ;
• une dimension “acceptation des formes conjugales alternatives” ;
• une dimension “normes autour de la parentalité”.

Ces questions ouvrent vers :

• l’ACP ;
• l’ACM ;
• la classification.

C’est l’objet de la séance suivante.

Séance suivante

Lorsque les données comportent :

• de nombreuses variables ;
• plusieurs dimensions ;
• des profils complexes ;

il devient difficile de tout analyser variable par variable.

Nous verrons comment :

• réduire la complexité et résumer l’information ;
• construire des profils et identifier des dimensions communes.

Outils abordés : ACP, ACM, classification.

Comment passer d’une multitude de variables à quelques grandes structures interprétables ?

Et ensuite ?

On a vu :

• Les relations simples

Mais :

• Plusieurs variables interviennent souvent (analyses multivariées)
• Les relations sont plus complexes

Séance 4 : Structurer
Séance 5 : Modéliser

Ressources en ligne

• Package corrplot
• Package correlation
• Package dplyr
• Package ggplot2

Bibliographie indicative

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• Boland Philip J., « A Biographical Glimpse of William Sealy Gosset », The American Statistician, no 3, vol. 38, 1984, p. 179‑183, https//doi.org/10.1080/00031305.1984.10483195.
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• Cornillon et al., Statistique avec R PUR (2012)
• Howell, D. C. et al. (2008). Méthodes statistiques en sciences humaines (2e éd.). De Boeck Supérieur.
• François Husson, Sébastien Lê, Jérome Pagès. Analyse de données avec R. Presses Universitaires de Rennes, 2016, Pratique de la statistique, Husson, 978-2-7535-4869-5. ⟨hal-01292429⟩
• Jubénot M.N., Eudes D. (2022). “Analyse de données sous R pour les sciences humaines”. Ellipses
• Klein, G. K. & Dabney, A. (2013) The Cartoon Introduction to Statistics, Ed, Hill & Wang Inc., U.S., 240p.
• Makowski, D., Ben-Shachar, M. S., Patil, I., & Lüdecke, D. (2020). Methods and algorithms for correlation analysis in R. Journal of Open Source Software, 5(51), 2306. https://doi.org/10.21105/joss.02306
• Makowski, D., Wiernik, B. M., Patil, I., Lüdecke, D., & Ben-Shachar, M. S. (2022). correlation: Methods for correlation analysis [R package]. https://CRAN.R-project.org/package=correlation (Original work published 2020)
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